一、微分方程的控制问题研究（论文文献综述）
党妍[1]（2021）在《Stokes方程最优控制问题的自适应网格方法》文中指出自然界中的所有流体都具有一定的粘性,由于粘性影响着流体流动的形态与性质,所以粘性的存在给流体流动的数学描述和处理带来了很大的困难.在研究水流现象一类问题时,密度的变化可以被忽略,因此通常情况下便把液体看作不可压缩流体.对很多流体力学问题的求解,本质上都是求解偏微分方程问题,其自身的复杂程度使得有限元通近达不到理想的精度.自适应网格方法利用自身类似人脑的智能优势,自己判断增加、删除或移动网格节点来调整网格,使得计算更加灵活.本文考虑了粘性不可压缩Stokes流的相关问题,选取了自适应网格方法中的r方法（移动网格方法）来求解该粘性不可压缩Stokes流的相关问题,主要研究内容如下:1.针对Stokes问题,描述了所要研究问题的模型、离散形式以及保证解的唯一性所用到的inf-sup条件,推导了 Stokes方程的残差型后验误差估计,并对其进行了上下界的证明,确保其可靠性与有效性.采用残差型后验误差估计来指导网格变化的过程,给出了一种基于残差型后验误差估计的移动网格算法,并通过两个具体的算例,验证了该算法的高效性,实现了在保持网格节点不变的情况下提高计算精度.2.针对Stokes方程最优控制问题,描述了所要研究的最优控制问题的模型及混合有限元逼近.通过对Stokes方程的状态方程进行分析,引入Lagrange泛函得到目标泛函的灵敏度分析结果及最优性条件,推导了 Stokes方程最优控制问题的残差型后验误差估计,并对其进行了上下界的证明,确保其可靠性与有效性.将最优控制和误差估计结合到网格移动策略中指导网格的移动,给出了一种新的基于目标泛函的灵敏度分析结果和误差估计的移动网格算法,通过经典的数值算例,验证了该算法的高效性,并且通过与给定的目标状态进行对比也验证了该算法取得了理想的结果.
孟凯旋[2]（2021）在《几类最优控制问题解的存在性和通有稳定性的研究》文中研究指明
高赫佳[3]（2021）在《柔性系统的建模与神经网络控制研究》文中认为柔性系统涵盖了柔性机械臂、仿生柔性扑翼飞行器和柔性建筑等多种不同的对象。随着柔性系统的大量应用,其控制理论与方法问题已经成为具有前瞻性的高新技术研究方向,受到了学术界和工业界的广泛关注。目前,柔性系统领域的控制理论与方法问题诸如柔性多连杆机械臂的轨迹跟踪及振动控制问题,自然灾害下柔性建筑的约束控制问题,复杂环境下仿生柔性扑翼机器人的容错控制问题等都己发展成为具有国家重大需求的共性科学问题,极富挑战性。因此,为了突破具有环境适应性的不确定柔性系统的建模与智能控制的技术难题,本文紧密结合柔性系统的智能控制理论与方法的研究趋势及其在实际工业中的应用,对柔性系统的建模机理及控制策略等相关理论和关键技术进行了系统深入地研究。本文采用假设模态方法建立了柔性机械臂系统的动力学模型,解决了柔性系统无穷维特性导致的建模机理的难题;设计了具有一致逼近性能的模糊神经网络控制器,解决了系统动力学不确定性问题;构造了基于高增益观测器的神经网络控制器,解决了实际工程中不易测得的状态信息问题;并成功地在Quanser平台上进行了实验验证,解决了带有动力学不确定性的柔性机械臂的振动控制的难题。其次,针对带有输出约束的柔性建筑系统,基于Actor-Critic算法设计了自适应强化学习控制器,设计辅助系统及扰动观测器,解决了未知扰动条件下柔性建筑的输出约束及振动抑制问题;并在Quanser平台上进行了实验验证,突破了传统控制方法无法处理分布式扰动、高维数、不确定系统的局限性。另外,针对仿生扑翼飞行机器人系统,采用新型有限刚体儿方法和MapleSim仿真平台进行了可视化建模,基于非奇异快速终端滑模方法设计了自适应有限时间容错控制器,并在搭建的虚拟智能平台上进形了测试,解决了系统动力学的不确定性、执行器故障下的鲁棒性及复杂环境下的稳定性问题。本文分析了几类柔性系统的动力学特性,研究了生产开发过程中的振动控制和优化问题,该研究成果将为柔性系统的建模机理与控制设计提供理论依据,为振动控制的实现提供技术支撑,并进一步促进机械结构与控制系统学科间的交叉研究。
张德金[4]（2021）在《Ky Fan不等式及其相关问题解的存在性与稳定性研究》文中指出本文主要运用集值分析方法对Ky Fan不等式及几类相关问题的解集的稳定性进行研究.主要包括Ky Fan截口问题解集的强稳定性、Ky Fan点集与向量值Ky Fan点集的强稳定性分析,n非合作博弈和多目标博弈的平衡点集的强稳定性分析,并对向量值拟变分不等式问题和一类经典随机控制问题的解集的通有稳定性等进行分析.全文共分六章,具体内容包括:第一章,主要介绍了Ky Fan不等式及其相关问题的研究背景、研究现状与研究意义,本质连通区与通有稳定性的研究现状,以及随机控制问题的研究现状与研究意义.最后简要阐述了本文的主要研究内容、创新点以及研究的基本框架.第二章,主要介绍本文将要使用的一些基本概念、性质以及重要的相关结论,其中主要包括Hausdorff距离的概念及其相关性质、集值映射的连续性、向量值函数的连续性与凸性、随机过程、随机微分方程的解等基本概念及其相关性质.第三章,主要研究了Ky Fan截口问题解的强本质集和强本质连通区的存在性、Ky Fan点集与向量值Ky Fan点集的强本质连通区的存在性,并导出了对应的n人非合作博弈Nash平衡点集与多目标博弈的弱Pareto-Nash平衡点集的强稳定性结果.首先,在Ky Fan截口问题模型中运用集合之间的Hausdorff上半度量定义一种新的更强的扰动,基于这一扰动下,对Ky Fan截口问题引入强本质集和强本质连通区的概念,并证明了Ky Fan截口问题解的强本质集与强本质连通区的存在性.其次,在Ky Fan不等式与向量值Ky Fan不等式问题模型中,基于Ky Fan点和向量值Ky Fan点都与Ky Fan截口问题的解之间具有的某种等价性,于是通过把Ky Fan点问题和向量值Ky Fan点问题都转换成某种Ky Fan截口问题,运用集合之间的Hausdorff上半度量分别定义几类新的更强的扰动,使其既能够统一处理通常的分别基于不等式函数的一致度量和截口映射最大模度量所定义的扰动,又包含了集合变化的扰动情形,更重要的是这些强扰动还打破了常见两种扰动的对称性结构,仅需考虑包含关系既可,这扩展了扰动的方式与适用范围.基于这些强扰动下,对Ky Fan不等式问题与向量值Ky Fan不等式问题分别引入了强本质集和强本质连通区的概念,并证明了Ky Fan点集与向量值Ky Fan点集的强本质连通区的存在性.最后,作为应用,结合博弈Nash平衡与Ky Fan点之间具有的某种等价性,对n人非合作博弈与多目标博弈问题分别定义了一种同时涵盖支付函数扰动与策略集扰动的强扰动,提供了一种处理由局中人策略选择的不确定性产生的策略集扰动下的稳定性分析方法,并分别导出了n人非合作博弈Nash平衡点集与多目标博弈弱Pareto-Nash平衡点集的强本质连通区的存在性.第四章,运用通有性质的研究方法对向量值拟变分不等式问题的解集的通有稳定性进行研究.首先通过约束映射在图像拓扑意义下的图像度量,在向量值拟变分不等式问题模型中引入一种比通常一致度量更弱的新度量ρH.然后提出了向量值拟变分不等式问题关于新度量ρH是本质的定义,并证明了向量值拟变分不等式问题解集的通有稳定性结论.结论表明,在Baire分类的意义下,大多数的向量值拟变分不等式问题关于度量ρH都是本质的.第五章,研究了一类经典的随机控制问题的解（也称最优控制）的存在性和通有稳定性.首先,把Lp-空间中的Riesz-Kolmogorov紧性定理推广到随机情形,得到了一类随机过程空间LFp（[s,T];Rk）中子集的相对紧性的一个判别方法,并在一定假设条件下证明了容许控制集合u[s,T]的紧性.其次,研究了受控系统方程的解关于参数的连续依赖性,主要包含了解对初始参数、控制参数和系统系数等参数的连续依赖性,其中解关于系统系数b和σ的连续依赖性是较新的.再次,借鉴非线性分析的方法研究了一类经典的随机控制问题的最优控制的存在性,在容许控制集合无凸性假设与扩散系数σ无正定性假设条件下得到了随机控制问题的最优控制的一个存在性结果.最后,在随机控制问题中引入了本质解的概念,证明了在所构造随机控制问题模型中,在Baire分类的意义上,大多数的随机控制问题都是本质的这一通有稳定性结果.第六章,简要总结本文的研究内容,并展望了今后的一些研究方向.
李方冉[5]（2021）在《几类集值微分方程的稳定性分析》文中进行了进一步梳理本文主要讨论了几类集值微分方程的稳定性,集值微分方程作为微分方程理论的发展,已有许多学者对集值微分方程理论进行了深入的研究.在对集值微分方程的研究中,当集合是单值映射时,集值微分方程中的Hukuhara导数和积分可简化为普通的向量导数和积分,因此常微分方程是集值微分方程的特殊情况;其次,当多值微分包含不具有凸性时,可以将多值微分包含转化为集值微分方程来考虑,因此集值微分方程可以作为研究多值微分包含的一种工具.随着对微分方程稳定性问题的深入研究,出现了许多新的稳定性概念.例如,实用稳定性,严格实用稳定性,两度量稳定性等.全文主要内容如下:首先,研究了具有Causal算子的脉冲集值微分方程的实用稳定性,定义了异构矩阵值Lyapunov函数,给出了比较定理,利用异构矩阵值Lyapunov方法和比较原理,得到了该方程初值问题的实用稳定性.其次,给出了脉冲集值微分方程层解的定义,通过Lyapunov方法和比较原理,讨论了该方程初值问题解和层解的两度量严格实用稳定性和严格实用稳定性.最后,研究了含第二型Hukuhara导数的具有记忆的Causal算子集值微分方程的两度量实用稳定性,通过引入上拟单调增的概念,给出了比较定理.利用向量Lyapunov方法和比较原理,得到了该方程初值问题的两度量实用稳定性.
陈镇镇[6]（2021）在《带有不确定性的一维波动方程稳定与非同位输出跟踪控制》文中进行了进一步梳理在当今的实际工程控制问题中,偏微分方程系统可以描述许多实际工程的物理模型,偏微分方程系统对于许多控制问题的模型描述比常微分方程系统描述更加精确,偏微分方程控制系统被称为分布参数控制系统。伴随着工业技术的发展,控制模型的建模理论得到了极大地完善,分布参数系统模型控制理论也取得了很大的进步。近几年来存在不确定性因素的分布参数系统的非同位输出追踪和一致性同步跟踪问题引起了众多学者的研究兴趣。本文主要研究了一类存在不确定性因素的一维波动方程模型系统的非同位性能输出跟踪问题和一维波动方程网络多智能体系统模型的一致性输出同步问题,本文研究问题是由一维波动方程模型各系统耦合来描述。通过对控制对象的分析研究,使分布参数控制系统的输出跟踪问题有了进一步发展。本文主要研究内容分为三部分。第一部分的研究内容在本文的第二章,阐述了本文研究过程中采用的新型控制策略-自抗扰控制技术（Active Disturbance Rejection Control,ADRC）的由来,将自抗扰控制器组成模块和功能进行一一介绍。控制过程是:通过将跟踪微分器的输出信号和扩张状态观测器的部分输出变量组合作差得到非线性误差反馈,计算出主控制输出律,进而通过其计算补偿扰动,抑制扰动带来的影响,最终得到系统控制器的控制反馈律。另外,通过改进现有跟踪微分器的加速函数,提出了一种快速指数积分型跟踪微分器,并对所设计的快速指数积分型跟踪微分器进行简要说明。最后通过对一个二阶被控对象设计自抗扰控制器进行仿真效果的展示,展现了ADRC控制器对处理系统不确定性的有效性。第二部分的研究内容在本文的第三章,主要研究存在不确定性因素的一维波动方程模型跟踪不可微轨迹信号的控制-输出非同位控制问题,控制输入与干扰、控制输入与输出均分别存在两个边界条件。本章采用自抗扰控制思想并设计输出反馈控制解决不确定性因素,设计伺服系统解决输出跟踪问题。首先,设计跟踪微分器并说明在文中的应用;其次,构造干扰观测器实现对干扰信号的估计,设计输出反馈控制器抵抗干扰,构造输出跟踪辅助系统和伺服系统,证明系统解的唯一性;最后,考虑闭环系统的稳定性和适定性,实现一维波动方程系统的w（0,t）端跟踪轨迹信号uref（t）的目的。在Matlab仿真环境下对一维波动方程控制模型进行仿真,仿真结果验证了控制器设计的可行性。最后一部分内容在文中的第四章,考虑了一组边界具有一般时变结构扰动的N个一维波动方程网络多智能体系统的状态一致变化与输出跟踪同步控制问题。本章研究中首先利用基于自抗扰控制的估计/抵消策略建立输出反馈控制,自抗扰控制思想是通过建立无限维干扰观测器来寻找一致性策略,本章仅利用一维波动方程网络跟随系统的输入和输出测量信息设计无穷维扩张状态观测器估计干扰信息,从而对匹配干扰提供任意程度的衰减和抑制;其次,根据网络通信协议和拓扑矩阵设计同步控制器实现每个网络系统之间的信息交流达到系统状态和输出同步;最后,通过设计Lyapunov函数证明控制器的稳定性,考虑网络一维波动方程闭环系统的适定性。采用ADRC方法有效缩短干扰估计时间、减小估计误差。通过三个一维波动方程网络系统的数值算例验证了控制器的有效性、可行性。文章最后对本文的研究内容和过程进行了总结并提出了分布参数控制系统输出跟踪和自抗扰控制技术未来所面临的研究问题,并指出今后科研学习的方向。
斯可汗[7]（2021）在《平均场下状态切换系统的线性二次随机微分博弈》文中研究表明众所周知,博弈论是对多个主体制定策略的研究。从控制论的角度来说,我们可以把它看作是一个高维最优控制问题。博弈问题中的数学模型有很多种,例如,按参与者之间的关系来划分,可以是合作关系,也可以是冲突（非合作）关系,它在金融市场、管理科学、计算机科学、物理、化学等领域有着广泛的应用。最早的研究是关于零和博弈的,即所有参与者的总利润是等于他们的总损失的。这是非合作博弈的一个特例,现在我们把纳什均衡策略称为这种非合作博弈中的一种“最优”策略。随着博弈论的发展,越来越多的科学家运用博弈论来解决各自领域的问题。在许多数学模型中,参与者总是有相互冲突的目标。因此,纳什均衡分析在这样的环境下变得非常重要。结合随机分析,博弈论逐渐发展出一个新的分支,称为随机微分博弈（简称SDG）。这是博弈论从确定性发展到随机性的一大进步。随机微分博弈的数学模型在含噪声的动态系统建模中是非常有用的。在文献中,对随机微分博弈的研究可以追溯到20世纪60年代（参见[6,7,9,50,80,92]）。近年来,受控的平均场随机微分博弈（简称MFG）在决策分析、工程应用、投资组合选择、金融市场等领域得到了广泛的研究,平均场博弈的一个应用是处理大种群系统。许多关于平均场博弈的研究已经展开。自从Huang-Caines-Malhame[43,44]和Lasry-Lions[58,59,60]的相关研究以来,平均场博弈理论及其应用得到了迅速发展。平均场博弈理论的相关研究包括Bardi[8],Bensoussan-Frehse-Yam[13],Carmona-Delarue[23],Garnier-Papanicolaou-Yang[38],Gueant-Lasry-Lions[37]等等一些参考文献。这里需要注意,平均场博弈和平均场类型的控制问题是不同的概念,例如[2,30]。在随机微分博弈问题中,斯塔克尔伯格博弈问题（又称主从博弈）是由H.Von S-tackelberg于1934年首次提出的。斯塔克尔伯格博弈描述了参与者地位或者信息不对等的情况下进行的博弈问题。它将参与者分为领导者和跟随者。人们对斯塔克尔伯格随机微分博弈进行了大量的研究。Basar[9]研究了线性二次系统下的斯塔克尔伯格博弈。Bensoussan-Chau-Yam[10]研究了平均场下的斯塔克尔伯格博弈。斯塔克尔伯格随机微分博弈的最大值原理由Bensoussan-Chen-Sethi[12]给出。Demiguel-Xu[29]则是研究了斯塔克尔伯格随机微分博弈中存在多个领导者的案例。Du-Huang-Qin[30]研究了带延迟的斯塔克尔伯格随机微分博弈的最大值原理。与平均场下斯塔克尔伯格随机微分博弈非常相似的一个主题就是平均场下的主次随机微分博弈问题。这是大种群系统中的一个概念,在大种群系统中,虽然次要参与者的个体影响可以忽略不计,但是次要参与者可以通过改变他们的状态平均来影响整个大种群系统,而主要参与者则通过改变自己的策略就可以直接影响大种群系统。有大量的文献研究了平均场下的主次随机微分博弈。据我所知,Huang[46]最早提出了这个模型。此后,Nourian-Caines[70]验证了其纳什确定性等价理论。Huang-Wang-Wu[41]研究了倒正向随机微分方程（简称BFSDE）系统中的主次平均场博弈。平均场博弈的一个显着特点是,状态方程和代价泛函都与平均场项存在一种弱耦合结构。在求解平均场博弈问题时,我们首先想到的就是解耦,因此我们考虑可以引入某些黎卡提方程用来对相应的正倒向随机微分方程进行解耦求解。一个有趣的结果是,我们在研究斯塔克尔伯格平均场博弈时,如果将其状态方程设为正向随机微分方程（简称SDE）,那么辅助极限问题中,领导者的状态方程最终仍然是一个正倒向随机微分方程（简称FBSDE）。本文主要讨论线性二次（简称LQ）情形,其中状态动态由一个线性方程驱动,代价函数为关于状态和控制的二次型。它是博弈论和控制论领域中的一个经典的基本问题。在过去的几十年里,确定性和随机性的线性二次控制问题都得到了广泛的研究。Kushner[50]首先利用动态规划原理研究了随机线性二次（简称SLQ）最优控制问题。此后.Won-ham[92]研究了随机线性二次滤波问题中出现的扩展版的矩阵值黎卡提方程。利用泛函分析理论,Bismut[6]证明了黎卡提方程解的存在性,并导出了随机系数线性二次最优控制问题中具有随机反馈形式的最优控制的存在性。基于线性二次系统的良好结构,目前已有许多基于线性二次模型的平均场博弈建模工作。Li-Sun-Yong[54]研究了线性二次平均场博弈的开环（简称OL）可解性;Sun[85]研究了线性二次平均场博弈的闭环（简称CL）可解性。此外,大种群系统中的线性二次博弈类似于线性二次平均场博弈,关于大种群系统中线性二次博弈的研究也有很多文献。Huang-Malhame-Caines[44]研究了参与者状态非均匀的大种群系统中的线性二次博弈,并证明了其ε-纳什均衡性质。在[45]中,Huang-Caines-Malhame研究了一类具有N个参与者的线性二次博弈,他们的共同目标是最小化他们N个参与者的代价泛函之和的代价泛函,称为社会最优问题。这是一种合作博弈,在实际问题中有相应的应用。有关线性二次平均场博弈的更多文献,请参考[41,42,31]等。随机线性二次问题的另一个扩展是考虑状态方程和代价泛函中的系数包含随机跳变的情况,如泊松跳变或状态切换跳变。近年来,越来越多的人研究了状态切换模型在金融和随机线性二次问题中的应用,并发表了大量的文献。例如,Wu-Wang[93]首先考虑了带泊松跳的随机线性二次问题,得到了确定性黎卡提方程的解的存在唯一性。此外,还讨论了带跳随机黎卡提方程的解的存在唯一性,以及带跳随机黎卡提方程与随机线性二次最优控制问题的哈密顿系统之间的联系。Yu[103]研究了带跳扩散模型状态系统下的一类不定的倒向随机线性二次最优控制和博弈问题。Li等人[55]解决了带泊松跳的不定随机线性二次问题。状态切换系统中的线性二次随机最优控制问题在期权定价、科学、工程、金融投资和经济学等领域都具有重要的现实意义。在应用概率论和随机控制理论中,状态切换模型及其相关问题得到了广泛的研究。近年来,人们对这类随机线性二次最优控制问题及其金融应用的研究越来越感兴趣。例如,Li-Zhou[53]以及Li-Zhou-Ait Rami[55]引入了带马尔科夫跳的不定随机线性二次最优控制问题,Liu-Yin-Zhou[57]考虑了带不定权重控制的代价泛函的状态切换线性二次问题的近似最优控制,Donnelly[32]分析了状态切换扩散模型关于最优控制的随机最大值原理,Tao-Wu[88]研究了正倒向状态切换系统关于最优控制的随机最大值原理。从金融领域来看,人们通常会发现两种市场状态,一种是价格上涨的牛市,另一种是价格下跌的熊市。因此,状态转换模型下的投资组合选择问题在金融投资中具有重要的现实意义。适用的典型例子包括但不限于Yiu-Liu-Siu-Ching[102],Donnelly-Heunis[33]等。基于上述的研究,本文的主要思想是将线性二次平均场博弈与状态切换系统相结合。如我们所知,如果直接研究具有随机系数的平均场博弈,那么我们就缺乏一些必要的数学工具来处理相应的正倒向随机微分方程。但随着马尔科夫链理论的迅速发展,我们足以处理具有状态切换系统的线性二次平均场博弈问题。此外,我们还对其它一些问题感兴趣,例如由倒正向随机微分方程系统驱动的斯塔克尔伯格平均场博弈;在同一平均场博弈中斯塔克尔伯格博弈与主次博弈的结合;以及状态切换系统在金融市场中的应用。本论文包括以上所有的待讨论的主题。在处理随机系数平均场博弈问题时,我们不能避免E[A（t,α（t））X（t）]≠A（t,α（t））E[X（t）]所带来的这一困难,而在确定性系数下可以避免,是因为E[A（t）X（t）]=A（t）E[X（t）]。虽然在离散时间下已经有文献给出了一些划分状态空间的方法,但它不能应用于连续时间模型。因此,在这种困难的限制下,我们无法引入黎卡提方程来解耦相应的正倒向随机微分方程以获得最优控制的反馈形式。然而,我们仍然可以讨论状态切换系统中平均场下线性二次最优控制问题的开环可解性。本文具体的结构如下:首先我们在第一章综述了各个研究问题的背景,以及研究的动机和目的,便于读者快速了解论文内容。接着第二章,我们研究了具有倒正向状态的大种群系统,并建立了相应的线性二次平均场博弈模型。对于领导者和跟随者,分别构造了辅助极限问题,并求解了相应的最优控制。由于倒正向系统的特点,我们不能通过引入黎卡提方程来解耦一致性条件（简称CC）系统。因此,我们给出了一些单调性条件,并用压缩映射方法证明了它的适定性。此外,分散化策略也从CC系统中被推导出。此外,基于一些正倒向随机微分方程解的估计,我们还验证了原问题的ε-纳什均衡性质。更进一步,我们在第三章中研究了主次博弈与斯塔克尔伯格博弈耦合的情况。我们将参与者整体上分成三组:主要领导者、次要领导者和（次要）跟随者。在实际应用里,它们可以代表金融市场上的三种主体:主要供应商、次要供应商和（次要）生产商。在这样的平均场博弈中,我们推导出了近似斯塔克尔伯格-纳什-古诺（简称SNC）均衡。虽然我们假设了所有的参与者都是正向状态,但是斯塔克尔伯格-纳什-古诺分析告诉我们,由于斯塔克尔伯格结构的存在,主要领导者最终会自然地形成正倒向状态。这一结果不同于标准平均场博弈框架文献中所得出的结果,主要是由于我们这里采用了斯塔克尔伯格结构。通过变分分析,一致性条件系统可以用一些完全耦合的具有高维块结构的正倒向随机微分方程来表示。为了充分说明相应方程的可解性,我们还通过一些耦合的黎卡提方程导出了近似斯塔克尔伯格-纳什-古诺均衡策略的反馈形式。最后,我们验证了ε-斯塔克尔伯格-纳什-古诺均衡性质,并给出了在我们模型下的一些实际应用。在第四章中,我们研究了状态转换系统中的最优投资组合问题。所谓的状态切换就是指状态方程的系数是带有马尔科夫链的,一旦给定马尔科夫链所取值的状态,此时的系数就变成了确定性的连续函数。金融模型一般采用无摩擦市场、完备信息、无交易成本、无税收、无限制借贷和卖空的标准假设。全球金融危机后,全球各地的卖空禁令以及COVID 19期间的多家交易所的卖空禁令变得越来越重要。本章在文献中首次提出了一个模型,明确同时考虑通货膨胀、信息成本和卖空在状态切换模型下的投资组合绩效。我们的模型可以被投资组合经理用来评估这些市场缺陷对投资组合决策的影响。最后,第五章研究了平均场下状态切换系统的线性二次随机最优控制问题开环可解性。利用算子技术,推导出了代价泛函的泛函表达。结果表明,代价泛函的凸性是问题有限性的必要条件,而代价泛函的一致凸性最优控制问题的开环可解的充分条件。通过考虑一类一致凸代价泛函,给出了问题有限性的刻画,构造了一个与问题的可解性等价的极小序列。通过几个例子证明,我们的结果可以用于解决一些投资问题,例如均值方差模型中的投资组合选择问题。
王昀卓[8]（2021）在《求解偏微分方程的神经网络方法》文中研究指明偏微分方程是指未知函数及其偏导数的方程,描述自变量,未知函数及未知函数偏导数之间的关系。偏微分方程是描述客观物理世界规律最重要的数学工具之一,其在电磁学、热力学、流体力学、量子力学、几何学等学科中都有重要应用。偏微分方程的精确解难以获取,所以一般考虑获取偏微分方程的近似解。使用神经网络方法求解偏微分方程是近些年来一种新兴的偏微分方程的近似求解方法。相对传统的数值方法,大多数神经网络方法无需网格剖分,这节省了由网格剖分带来的巨大的计算开销和存储开销。此外求解偏微分方程的神经网络方法使用简单,通用性强,因此受到部分科研人员的关注。本文主要涉及求解偏微分方程的神经网络方法的相关研究。具体而言,本文的研究工作如下:1.本文探讨了使用神经网络方法求解偏微分方程的精度一致问题。该问题主要探讨在方程定义域上的误差分布情况。我们通过一个实例说明了使用神经网络方法近似求解偏微分方程存在精度不一致现象。为了缓解该现象,我们提出了区域分解-搜索奇异子域-预测（DSP）框架。本文详细地介绍了DSP框架的实现细节,并分别在Poisson方程,Helmholtz方程和Eikonal方程上完成实验。实验结果表明,我们提出的DSP框架可以很好地缓解使用神经网络方法求解偏微分方程的精度不一致现象。2.本文提出并设计了多网策略。多网策略被用来代替传统的单网策略。相对单网策略,多网策略可以显着提高算法的求解效率。在本文中,我们给出了单网策略和多网策略的定义,并通过时间复杂度分析说明了在一大类偏微分方程上,在模型复杂度接近的情况下,多网策略下的算法效率高于单网策略下的算法效率。此外,多网策略下的算法可以求解分数阶偏微分方程,但单网策略下的算法无法求解这类方程。我们分别在Burgers方程,对流扩散方程,Kdv方程,Allen-Cahn方程和四个空间分数阶偏微分方程上完成了实验,并对比了不同方法在单网策略下和多网策略下的求解精度和效率。实验结果表明,相比于单网策略下的神经网络方法,多网策略下的方法求解效率更高。并且多网策略下的神经网络方法可以求解分数阶偏微分方程。3.本文提出了一种考虑了时空间依赖性的求解偏微分方程的神经网络方法:TD-Net。TD-Net考虑通过在神经网络方法中建模时空间依赖性来提高求解偏微分方程的精度。它通过时间离散化技术建模时间依赖性,通过卷积操作建模空间依赖性。本文详细地介绍了 TD-Net的算法细节,并分析了其时间复杂度。我们分别在Burgers方程,对流扩散方程,Kdv方程,Allen-Cahn方程和四个空间分数阶偏微分方程上完成了实验。实验结果表明,相对于目前最优的求解偏微分方程的神经网络方法,TD-Net在实验方程上取得了有竞争力的求解精度和最快的效率。最后,我们分析了 TD-Net的局限性。
朱英俊[9]（2021）在《时标随机最优控制问题》文中研究指明为了统一处理连续时间问题和离散时间问题,1988年,Hilger在他的博士论文中创建了 Time Scales（以下称为时标）理论。在此之后,时标理论凭借其优良的时间结构特性及广阔的应用前景,得到了人们的持续关注及深入研究。现实中有许多过程的时间变量既不是经典的连续时间,也不是均匀离散时间,例如,一个由电阻、电容及自感线圈所组成的简单串联电路,当电容以固定频率作周期闭合时,电路中电流的变化率正好可以用时标上的导数来描述。时标理论所定义的时间尺度适用范围更广,可行性更强,近年来受到了广泛关注。同时,实际控制系统都带有随机因素,在很多情况下,这些因素不可忽略。因此,研究时标框架下的随机最优控制问题具有重要意义,尤其是处理时间变量结构复杂的问题。本文首次较为深入和系统地在时标体系下研究随机Δ-微分系统的最优控制问题。相比于经典连续时间和离散时间情形,时标最优控制问题的研究,不仅有助于统一建立包含连续时间和离散时间情形在内的最优控制理论,从而避免连续时间和离散时间之间的重复性研究以及更好地了解这两类不同系统之间的区别及联系,而且对实际优化问题中遇到的时间尺度既包含连续时间区间又包含离散时间孤立点集的动力控制系统提供一定的理论指导。我们主要研究了两类随机最优控制问题,一类是时标随机线性系统的最优控制问题,分别研究了随机线性二次最优控制问题和平均场型随机线性二次最优控制问题。另一类是时标非线性随机系统的最优控制问题,建立了动态规划原理和最大值原理。关于本文的主要内容,概要如下:第一章,主要就本论文所涉及问题的研究背景及研究内容展开深入介绍。第二章,主要介绍时标理论体系的有关内容,为后面研究内容做数学准备。第三章,由时标随机线性控制系统出发,探讨二次型代价泛函的最优控制问题。为解决此问题,在时标体系下建立了关于随机过程的乘积法则,且通过完全平方方法引入Riccati Δ-微分方程（RΔE）及一个辅助的线性方程,在一定条件下,给出了最优控制的线性反馈形式。受此启发,进一步研究了时标平均场随机线性二次最优控制问题。相较于已有的时标最优控制问题所不同的是,控制系统及代价泛函中均包含状态和控制的期望项。针对状态方程,用迭代法证明了其解的存在唯一性。通过耦合RΔEs的解,给出了该问题最优控制的反馈表达形式。另外,我们对RΔEs解的存在唯一性问题进行了讨论,并给出了 RΔEs可解性的充要条件。第四章,我们研究了随机非线性Δ-微分系统最优控制问题的动态规划原理。为解决该问题,在时标体系下给出了复合函数链式导数的定义并建立了多元函数的链式法则。以此为基础,重建了关于时标随机过程的伊藤公式,进而借助伊藤公式得到随机最优控制问题的最优性原理和值函数满足的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。值得注意的是,本文得到的HJB方程比以往研究中出现的相关HJB方程,在形式上要更加复杂,其是一个带期望的二阶偏Δ-微分方程,原因是离散点出现的时间间断导致此方程包含期望。进一步,将所得时标动态规划原理的结果应用在时标随机线性二次最优控制问题的研究中。第五章,考虑了两类时标随机非线性控制系统,并分别给出了对应的最大值原理。一类是随机Δ-微分系统的最优控制问题。在假设控制域是凸集的情况下,通过乘积法则建立对偶关系,从而推导出伴随方程的合适形式,进一步利用变分法并给出时标最优控制问题的最大值原理。其结果退化到离散时间情形下,形式上与传统离散时间情形的结果并不一致,针对这种不一致现象,我们分析并证明了两种结果的等价性。此外,给出了所得时标随机最大值原理在时标随机线性二次最优控制问题中的应用。另一类是受控系统由一个带有条件期望的随机Δ-微分方程（SΔE）给出。我们先由迭代法给出了此类SΔE解的存在唯一性,相较于已有的此类方程的结果,我们研究的方程包含更复杂的条件期望项。用凸变分方法给出了控制系统的变分方程以及一些相关估计,这就使得我们可以推导出变分不等式。随后,利用对偶关系给出了变分不等式其等价形式的伴随方程,借助变分不等式的等价形式及其等价形式的伴随方程,本文就得到了最优控制满足的必要条件—最大值原理,其结果退化到离散时间情形下,也是一个新的结果。第六章,我们将得到的理论结果应用于金融数学问题和季节性种群模型。在金融数学中的一个基本问题是投资策略的构建,其中均值-方差投资组合模型是一类被广泛研究的投资策略。对经典连续时间和离散时间的均值-方差投资组合模型,重构在时标体系下的模型。季节性蚊虫数量的变化规律兼具连续和离散特征,因此在时标体系下建立蚊虫种群密度的控制模型。结果显示,在休眠期开始时施加脉冲控制能够减少来年蚊虫的种群密度。
马宁[10]（2021）在《带马氏链的倒向（双重）随机微分方程及其对应的（随机）偏微方程问题研究》文中研究表明1992年,Peng和Pardoux[70]首次给出了非线性倒向随机微分方程（BSDE）适应解的存在唯一性。此后,由于BSDE以及正倒向随机微分方程（FBSDE）良好的结构,其不仅在随机分析（[18,74]）、偏微分方程（[68,12]）等基础领域得到广泛研究,也为金融数学（[27,20]）、随机控制（[72,75]）等应用领域提供了坚实的理论支撑。然而,仅由布朗运动驱动的正倒向系统仅能有效刻画模型中连续的参数,但在现实世界中,有很多发生频率较低（偶发）,但对系统有着长远深刻影响的事件。以股票市场为例,市场趋势变化（牛市熊市转换）、政策变动等均为不连续且偶发的状态,但对股票市场影响深远。仅由布朗运动驱动的经典扩散模型不能很好的刻画上述事件。马氏链作为一种状态离散、时间连续的随机跳过程,其特有的性质恰好可以对上述事件刻画,该思想最早由Hamilton[31]提出,现已得到广泛关注与研究（[105,87]）。因此,我们引入一类连续时间有限状态的马氏链,并使之与BSDE系统进行耦合,进而研究一类由布朗运动与马氏链共同驱动的混合系统。在此类系统中,系数中包含马氏链,以马氏链的状态刻画偶发事件等,使得系统状态依赖于事件变化。比如在股票市场中,我们在股票价格模型的系数中引入含两个状态的马氏链,其状态分别代表牛市和熊市,此时的系统可以刻画由牛市熊市转换对股票价格的影响。此外,在研究受噪声干扰的部分可观测信息问题时,带马氏链的滤波技术起到关键作用（[2,88]）。以上问题的数学理论支撑本质上是带马氏链的正向或者倒向系统。因此,本文将致力于研究带马氏链的倒向随机系统,包括带马氏链的倒向微分方程（BSDEM）,带马氏链的倒向双重随机微分方程（BDSDEM）以及正倒向系统对应的偏微分方程（PDE）、随机偏微分方程（SPDE）问题。本文主要由以下六章组成:论文第一章,阐述本文所涉及问题的研究背景以及研究意义,并详细说明此后每章的主要学术贡献。论文第二章,主要研究带马氏链的随机微分方程（SDEM）解的随机流性质以及其上的Malliavin分析,为接下来研究倒向及倒向双重随机微分方程做准备。首先,我们得到SDEM的解可以构成一个随机流,然后,利用经典的解的估计方法,我们得到SDEM解的高阶估计,并利用同伦理论,得到其解可形成一个微分同胚。最终,我们得到一个推广的等价范数定理,其在研究与SDEM耦合的BSDEM及BDSDEM在Sobolev空间中的解问题时起到关键作用。此外,为了研究SDEM的解在维纳空间中的正则性以及后面第五章关于中关于“Z”的表示,我们研究了一类随机变量的M alliavin可微性问题,此类随机变量不仅带有维纳过程的信息,还带有与维纳过程独立的信息。利用独立性,我们得到了此类随机变量的维纳-伊藤混沌分解,并最后推广了着名的Clark-Ocone公式。利用逼近方法,最终得到SDEM的解在维纳空间中的正则性。论文第三章,本章主要研究了与BSDEM相关联的PDE的光滑解与Sobolev弱解。首先,利用经典的估计技术,我们得到BSDEM解的高阶估计以及其解关于参数的连续依赖性和光滑性。利用逼近技术,我们得到BSDEM中“Z”的表示,由此我们得到了 PDE光滑解的存在唯一性。在经典的Lipschitz条件下,BSDEM的解的存在唯一性已经有结果。但是,在研究其对应的PDE的Sobolev弱解问题时,我们发现如果将经典Lipschitz条件弱化为一种带权重函数的泛函形式的Lipschitz条件,得到的BSDEM的解能够更加自然的描述PDE的解。因此,利用第二章中得到的等价范数定理,Riesz表示定理,磨光技术以及一些经典的估计方法,我们首先得到了在泛函Lipschitz条件下BSDEM解的存在唯一性。最后,利用逼近技术,我们得到了 PDE的Sobolev弱解的概率解释。论文第四章,在本章中,我们主要研究了 BDSDEM解的存在唯一性以及比较定理。首先,我们给出了一个推广的伊藤公式;然后,在经典的Lipschitz条件下,利用鞅表示定理以及逼近技术,我们得到了其解的存在唯一性;随后,利用Yosida逼近,我们研究了在单调条件下,BDSDEM解的存在唯一性,并分别给出了在以上两种条件下的比较定理。最后,我们研究了在局部单调条件下,BDSDM解的存在唯一性。通过构造一列全局单调的BDSDEM,我们证明了其极限即为在局部单调条件下BDSDEM的唯一解。论文第五章,本章主要研究了与BDSDEM相关联的SPDE的光滑解与Sobolev弱解问题。首先,利用经典的估计技术,我们得到BDSDEM解的高阶估计以及其解关于参数的连续依赖性和光滑性。利用第二章的Malliavin分析,我们得到BSDEM中“Z”的表示,由此我们得到了 SPDE光滑解的存在唯一性。同样地,在泛函形式的Lipschitz条件下,BDSDEM的解可以更加自然的描述SPDE。因此,利用第二章中得到的等价范数定理,Riesz表示定理,磨光技术以及一些经典的估计方法,我们首先得到了在泛函Lipschitz条件下BDSDEM解的存在唯一性,利用逼近技术,我们得到了其对应的SPDE的Sobolev弱解的存在唯一性。最后,利用时间方向上的有限差分法以及空间方向的谱配点法,我们给出了此类SPDE的一个数值结果。论文第六章,总结本文的研究结果并给出一些研究展望。
二、微分方程的控制问题研究（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、微分方程的控制问题研究（论文提纲范文）
（1）Stokes方程最优控制问题的自适应网格方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.1.1 Stokes问题的研究背景与意义 |
| 1.1.2 Stokes方程最优控制问题的研究背景与意义 |
| 1.1.3 自适应网格方法的研究背景与意义 |
| 1.2 课题的研究现状 |
| 1.2.1 求解Stokes问题的研究现状 |
| 1.2.2 求解Stokes方程最优控制问题的研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 常用空间 |
| 2.2 常用不等式和定理 |
| 2.3 有限元及混合有限元基本理论 |
| 2.4 移动网格方法 |
| 2.4.1 移动网格策略 |
| 2.4.2 离散偏微分方程的方法 |
| 2.4.3 求解偏微分方程和网格耦合系统的算法 |
| 2.5 网格剖分 |
| 2.6 本章小结 |
| 3 Stokes问题的自适应网格方法 |
| 3.1 Stokes问题 |
| 3.2 Stokes问题的离散形式 |
| 3.3 Stokes问题的误差估计 |
| 3.4 算法与算例 |
| 3.4.1 算法 |
| 3.4.2 数值算例 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 Stokes方程最优控制问题的自适应网格方法 |
| 4.1 Stokes方程最优控制问题模型 |
| 4.2 Stokes方程最优控制问题的最优性条件及灵敏度分析 |
| 4.2.1 最优性条件 |
| 4.2.2 灵敏度分析 |
| 4.3 Stokes方程最优控制问题的误差估计 |
| 4.4 算法与算例 |
| 4.4.1 算法 |
| 4.4.2 数值算例 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间主要研究成果 |
（3）柔性系统的建模与神经网络控制研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 柔性机械臂建模与控制技术 |
| 1.2.2 柔性建筑系统振动控制技术 |
| 1.2.3 仿生扑翼飞行器建模与控制技术 |
| 1.3 主要贡献与结构安排 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 哈密顿(Hamilton)原理 |
| 2.2 离散化建模方法 |
| 2.2.1 假设模态法 |
| 2.2.2 有限刚体元法 |
| 2.3 拉格朗日(Lagrange)方程方法 |
| 2.4 神经网络(Neural Network)方法 |
| 2.5 李雅普诺夫(Lyapunov)直接法 |
| 2.6 本章小结 |
| 3 柔性机械臂系统的建模与神经网络控制 |
| 3.1 单连杆柔性机械臂的模糊神经网络控制 |
| 3.1.1 基于假设模态法的动力学建模 |
| 3.1.2 基于模糊逻辑的神经网络控制 |
| 3.1.3 仿真结果及分析 |
| 3.1.4 实验结果及分析 |
| 3.2 双连杆柔性机械臂的输出反馈神经网络控制 |
| 3.2.1 基于假设模态法的动力学建模 |
| 3.2.2 基于高增益观测器的神经网络控制 |
| 3.2.3 仿真结果及分析 |
| 3.2.4 实验结果及分析 |
| 3.3 本章小结 |
| 4 柔性建筑结构系统的建模与强化学习控制 |
| 4.1 带有偏心负载柔性建筑的输出约束神经网络控制 |
| 4.1.1 基于假设模态法的动力学建模 |
| 4.1.2 基于障碍李雅普诺夫函数的神经网络控制 |
| 4.1.3 仿真结果及分析 |
| 4.1.4 实验结果及分析 |
| 4.2 带有主动质量阻尼器柔性建筑的强化学习控制 |
| 4.2.1 基于假设模态法的动力学建模 |
| 4.2.2 基于Actor-Critic算法的强化学习控制 |
| 4.2.3 仿真及实验验证 |
| 4.3 本章小结 |
| 5 仿生柔性扑翼飞行机器人的建模与智能控制 |
| 5.1 带有分布时变扰动的柔性梁系统的神经网络控制 |
| 5.1.1 基于假设模态法的动力学建模 |
| 5.1.2 基于扰动观测器的神经网络控制 |
| 5.1.3 仿真验证 |
| 5.2 带有执行器故障的柔性扑翼系统的学习控制 |
| 5.2.1 基于有限刚体元法的动力学建模 |
| 5.2.2 基于非奇异快速终端滑模方法的智能控制 |
| 5.2.3 联合仿真验证 |
| 5.3 本章小结 |
| 6 结论与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历及在学研究成果 |
| 学位论文数据集 |
（4）Ky Fan不等式及其相关问题解的存在性与稳定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 Ky Fan不等式及相关问题的研究现状 |
| 1.2.2 本质集与本质连通区的研究现状 |
| 1.2.3 随机控制问题的研究现状 |
| 1.3 研究内容与创新点 |
| 1.3.1 主要研究内容 |
| 1.3.2 论文主要创新点 |
| 1.4 论文章节安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 Hausdorff距离的概念及一些相关结论 |
| 2.2 集值映射的连续性及相关性质 |
| 2.3 向量值函数的连续性与凸性 |
| 2.4 随机分析的一些概念与结论 |
| 第三章 Ky Fan不等式相关问题解集的强稳定性及其应用 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 Ky Fan截口问题解集的强本质连通区的存在性 |
| 3.2.1 Ky Fan截口问题模型 |
| 3.2.2 Ky Fan截口问题解集的强稳定性 |
| 3.3 Ky Fan点集的强本质连通区 |
| 3.3.1 Ky Fan不等式问题模型 |
| 3.3.2 Ky Fan点的强本质连通区的存在性 |
| 3.4 应用Ⅰ:n人非合作博弈Nash平衡点集的强稳定性 |
| 3.5 向量值Ky Fan点集的强本质连通区 |
| 3.5.1 向量值Ky Fan点问题模型 |
| 3.5.2 向量值Ky Fan点强本质连通区的存在性 |
| 3.6 应用Ⅱ:多目标博弈弱Pareto-Nash平衡点集的强稳定性 |
| 第四章 向量值拟变分不等式问题解集的通有稳定性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 向量值拟变分不等式问题模型 |
| 4.3 向量值拟变分不等式问题解集的通有稳定性 |
| 第五章 随机控制问题解的存在性与通有稳定性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 假设与预备知识 |
| 5.3 一类适应可测随机过程空间中的紧性准则 |
| 5.4 随机微分方程的解对参数的连续依赖性 |
| 5.5 随机最优控制问题解的存在性 |
| 5.6 随机最优控制问题的解集的通有稳定性 |
| 5.7 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间科研和论文情况 |
（5）几类集值微分方程的稳定性分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 主要内容 |
| 第二章 具有Causal算子的脉冲集值微分方程的实用稳定性 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 比较原理及实用稳定性 |
| 第三章 脉冲集值微分方程解和层解的两度量严格实用稳定性 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 脉冲集值微分方程的层解 |
| 3.3 两度量严格实用稳定性 |
| 第四章 含第二型Hukuhara导数的具有记忆的Causal算子集值微分方程两度量实用稳定性 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.2 比较原理及两度量实用稳定性 |
| 第五章 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间取得的科研成果 |
（6）带有不确定性的一维波动方程稳定与非同位输出跟踪控制（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及其意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 模型分析的发展现状 |
| 1.2.2 存在不确定性的系统发展现状 |
| 1.2.3 输出跟踪问题发展现状 |
| 1.2.4 多智能体同步跟踪问题发展现状 |
| 1.3 本文主要工作 |
| 第二章 自抗扰控制技术研究 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 经典自抗扰控制器结构 |
| 2.2.1 跟踪微分器 |
| 2.2.2 扩张状态观测器 |
| 2.2.3 非线性状态误差反馈控制律 |
| 2.3 经典自抗扰控制律 |
| 2.4 快速指数积分型跟踪微分器设计 |
| 2.5 自抗扰控制器的仿真研究 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 带有边界不确定性因素的一维波动方程非同位输出跟踪自抗扰控制 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 研究问题描述 |
| 3.3 跟踪微分器的设计与应用 |
| 3.4 无穷维扰动观测器设计 |
| 3.5 辅助系统及伺服系统设计 |
| 3.6 闭环系统的构造与分析 |
| 3.7 数值仿真结果 |
| 3.8 本章小结 |
| 第四章 带有不确定性因素的一维波动方程网络多智能体系统同步跟踪自抗扰控制 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 研究问题描述 |
| 4.3 输出反馈控制器设计 |
| 4.3.1 无穷维扰动观测器的设计 |
| 4.3.2 同步跟踪控制器设计 |
| 4.4 网络一维波动方程的闭环系统稳定性和适定性 |
| 4.4.1 稳定性证明 |
| 4.4.2 适定性证明 |
| 4.5 网络一维波动方程多智能系统输出同步数值仿真 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 结论与展望 |
| 5.1 研究结果 |
| 5.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 |
（7）平均场下状态切换系统的线性二次随机微分博弈（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 平均场下线性二次倒正向随机微分方程系统中的斯塔克尔伯格博弈问题 |
| 1.2 平均场下线性二次随机微分方程系统中的混合型斯塔克尔伯格博弈问题 |
| 1.3 状态切换系统中长期最优投资组合:通货膨胀、信息成本和卖空 |
| 1.4 平均场下状态切换系统的线性二次随机最优控制问题的开环可解性 |
| 第二章 平均场下线性二次倒正向随机微分方程系统中的斯塔克尔伯格博弈问题 |
| 2.1 提出问题模型 |
| 2.2 辅助极限问题 |
| 2.3 辅助问题的最优决策 |
| 2.3.1 跟随者的最优决策 |
| 2.3.2 领导者的最优决策 |
| 2.4 一致性条件系统 |
| 2.5 ε-纳什均衡分析 |
| 2.5.1 领导者的摄动 |
| 2.5.2 跟随者的摄动 |
| 第三章 平均场下线性二次随机微分方程系统中的混合型斯塔克尔伯格博弈问题 |
| 3.1 提出问题模型 |
| 3.2 混合型斯塔克尔伯格-纳什-古诺均衡性分析 |
| 3.3 混合型斯塔克尔伯格博弈的开环策略 |
| 3.3.1 跟随者的开环策略 |
| 3.3.2 主要领导者的开环策略 |
| 3.3.3 次要领导者的开环策略 |
| 3.4 一致性条件系统 |
| 3.4.1 开环策略的解耦 |
| 3.4.2 反馈策略的解耦 |
| 3.5 近似斯塔克尔伯格-纳什-古诺均衡 |
| 3.5.1 主要领导者的摄动 |
| 3.5.2 次要领导者的摄动 |
| 3.5.3 跟随者的摄动 |
| 3.6 应用:凯恩斯选美大赛博弈 |
| 第四章 状态切换系统中长期最优投资组合:通货膨胀、信息成本和卖空 |
| 4.1 背景介绍 |
| 4.2 提出问题模型 |
| 4.3 最优投资组合的选择 |
| 4.4 数值模拟 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 平均场下状态切换系统的线性二次随机最优控制问题的开环可解性 |
| 5.1 提出问题模型 |
| 5.2 问题(M-MF-SLQ)的有限性和开环可解性 |
| 5.3 应用实例 |
| 5.3.1 例子1 |
| 5.3.2 例子2 |
| 5.3.3 例子3:均值-方差投资组合选择问题 |
| 5.4 本章小结 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表及完成的论文 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（8）求解偏微分方程的神经网络方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 PINN |
| 1.3 相关工作 |
| 1.3.1 物理知情的机器学习:传统模型 |
| 1.3.2 物理知情的神经网络:模型 |
| 1.3.3 物理知情的神经网络:应用 |
| 1.3.4 高维偏微分方程的求解 |
| 1.3.5 偏微分方程的反问题&深度学习 |
| 1.4 研究内容 |
| 1.5 本文组织结构 |
| 第2章 物理知情的神经网络的精度一致问题 |
| 2.1 奇异子域与精度一致问题 |
| 2.2 DSP框架 |
| 2.2.1 DSP框架的基本思想 |
| 2.2.2 DSP框架的基本流程 |
| 2.2.3 区域分解阶段(D阶段) |
| 2.2.4 搜索奇异子域阶段(S阶段) |
| 2.2.5 预测阶段(P阶段) |
| 2.3 PIGAN算法 |
| 2.4 带有高精度标签的有限离散点 |
| 2.5 实验分析 |
| 2.5.1 基准方法和性能指标 |
| 2.5.2 实验配置 |
| 2.5.3 实验方程 |
| 2.5.4 Poisson方程 |
| 2.5.5 Helmholtz方程 |
| 2.5.6 Eikonal方程 |
| 2.6 DSP框架的局限性 |
| 2.7 本章小结 |
| 第3章 多网策略 |
| 3.1 单网策略与多网策略的定义及多网策略下的损失函数 |
| 3.1.1 单网策略的定义 |
| 3.1.2 多网策略的定义 |
| 3.1.3 多网策略下的损失函数 |
| 3.2 单网策略与多网策略的时间复杂度分析 |
| 3.2.1 单网策略的时间复杂度 |
| 3.2.2 多网策略的时间复杂度 |
| 3.2.3 时间复杂度分析 |
| 3.2.4 一个例子 |
| 3.3 实验分析 |
| 3.3.1 基准方法和性能指标 |
| 3.3.2 实验方程 |
| 3.3.3 实验配置 |
| 3.3.4 实验结果及分析 |
| 3.4 多网策略下的模型选择 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 考虑了时空依赖性的物理知情的神经网络模型:TD-Net |
| 4.1 偏微分方程的求解与时空间依赖性 |
| 4.2 TD-Net |
| 4.2.1 时间离散化 |
| 4.2.2 数据预处理 |
| 4.2.3 多网策略 |
| 4.2.4 预测器 |
| 4.2.5 损失函数 |
| 4.2.6 时间复杂度 |
| 4.2.7 其他细节 |
| 4.3 实验分析 |
| 4.3.1 基准方法和性能指标 |
| 4.3.2 实验方程 |
| 4.3.3 实验配置 |
| 4.3.4 Burgers方程 |
| 4.3.5 对流扩散方程 |
| 4.3.6 Kdv方程 |
| 4.3.7 Allen-Cahn方程 |
| 4.3.8 分数阶偏微分方程 |
| 4.4 TD-Net的局限性 |
| 4.4.1 TD-Net的适用范围 |
| 4.4.2 光滑性限制 |
| 4.4.3 推断性能 |
| 4.4.4 长时虚弱问题 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 总结与展望 |
| 5.1 本文总结 |
| 5.2 未来展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（9）时标随机最优控制问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号说明 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究综述 |
| 1.3 研究内容 |
| 第二章 时标理论体系 |
| 2.1 时标理论的基础知识 |
| 2.2 时标上的随机分析 |
| 第三章 时标随机线性控制系统优化问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 时标随机线性二次最优控制问题 |
| 3.2.1 问题描述 |
| 3.2.2 乘积法则 |
| 3.2.3 RΔE与最优控制 |
| 3.3 时标平均场随机线性二次最优控制问题 |
| 3.3.1 问题描述 |
| 3.3.2 状态方程解的存在唯一性 |
| 3.3.3 RΔEs与最优控制 |
| 3.4 RΔEs解的存在唯一性 |
| 第四章 时标随机控制动态规划原理 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 问题描述 |
| 4.3 链式法则和伊藤公式 |
| 4.4 动态规划原理与HJB方程 |
| 4.5 从HJB方程推导RΔE |
| 第五章 时标随机控制最大值原理 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 随机最大值原理Ⅰ |
| 5.2.1 问题描述 |
| 5.2.2 变分不等式 |
| 5.2.3 伴随方程与最大值原理Ⅰ |
| 5.3 最大值原理Ⅰ与离散时间最大值原理 |
| 5.4 最大值原理Ⅰ推导RΔE |
| 5.5 随机最大值原理Ⅱ |
| 5.5.1 预备知识和问题描述 |
| 5.5.2 变分不等式 |
| 5.5.3 伴随方程与最大值原理Ⅱ |
| 第六章 时标随机最优控制理论的应用 |
| 6.1 均值-方差投资组合 |
| 6.2 季节性蚊虫种群模型 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（10）带马氏链的倒向（双重）随机微分方程及其对应的（随机）偏微方程问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号说明 |
| 第—章 绪论 |
| §1.1 带马氏链的随机微分方程解的随机流理论及对应Malliavin分析 |
| §1.2 带马氏链的倒向随机微分方程及其对应的偏微分方程 |
| §1.3 带马氏链的倒向双重随机微分方程 |
| §1.4 随机偏微分方程的经典解与Sobolev弱解 |
| 第二章 带马氏链的随机微分方程解的随机流理论及对应的Malliavin分析 |
| §2.1 问题描述 |
| §2.2 SDEM的解关于初始状态及时间的连续依赖性 |
| §2.3 随机流理论以及范数等价定理 |
| §2.4 SDEM对应的Malliavin分析 |
| 第三章 带马氏链的倒向随机微分方程及其对应的偏微分方程 |
| §3.1 问题描述 |
| §3.2 偏微分方程的光滑解 |
| §3.2.1 BSDEM解关于参数的连续依赖性 |
| §3.2.2 偏微分方程的光滑解 |
| §3.3 泛函Lipschitz条件下PDE的Sobolev弱解的概率解释 |
| §3.3.1 泛函Lipschitz条件下BSDEM解的存在唯一性 |
| §3.3.2 PDE的Sobolev弱解 |
| 第四章 带马氏链的倒向双重随机微分方程 |
| §4.1 问题描述 |
| §4.2 Lipschitz条件下BDSDEM解的存在唯一性 |
| §4.3 单调条件下BDSDEM解的存在唯一性 |
| §4.4 比较定理 |
| §4.5 局部单调条件下BDSDEM解的存在唯一性 |
| 第五章 随机偏微分方程的经典解与Sobolev弱解 |
| §5.1 问题描述 |
| §5.2 BDSDEM的解关于参数的光滑性 |
| §5.3 对应SPDE的光滑解 |
| §5.4 泛函Lipschitz条件下BDSDEM解的存在唯一性 |
| §5.5 SPDE的Sobolev弱解 |
| §5.6 SPDE的数值解 |
| §5.6.1 数值方法 |
| §5.6.2 数值结果 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表及完成的论文 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
四、微分方程的控制问题研究（论文参考文献）
- [1]Stokes方程最优控制问题的自适应网格方法[D]. 党妍. 西安理工大学, 2021
- [2]几类最优控制问题解的存在性和通有稳定性的研究[D]. 孟凯旋. 中国矿业大学, 2021
- [3]柔性系统的建模与神经网络控制研究[D]. 高赫佳. 北京科技大学, 2021
- [4]Ky Fan不等式及其相关问题解的存在性与稳定性研究[D]. 张德金. 贵州大学, 2021(11)
- [5]几类集值微分方程的稳定性分析[D]. 李方冉. 河北大学, 2021(09)
- [6]带有不确定性的一维波动方程稳定与非同位输出跟踪控制[D]. 陈镇镇. 济南大学, 2021
- [7]平均场下状态切换系统的线性二次随机微分博弈[D]. 斯可汗. 山东大学, 2021(10)
- [8]求解偏微分方程的神经网络方法[D]. 王昀卓. 中国科学技术大学, 2021(08)
- [9]时标随机最优控制问题[D]. 朱英俊. 山东大学, 2021(11)
- [10]带马氏链的倒向（双重）随机微分方程及其对应的（随机）偏微方程问题研究[D]. 马宁. 山东大学, 2021(10)